\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }
\begin{document}

\section{萌卡积分初步}
\subsection{均匀采样萌卡积分}
接下来我们简要探讨Monte Carlo积分（有高人简称其为\textsl{萌卡积分}）。
或许萌卡积分最经典的例子是，靠抛球的落点来估算不规则多边形的面积，但是
\textsl{这种需要深奥高中数学知识的例子显然不符合我们笔记的风格（？）}，
于是我们来看一个更简单的例子：

假设我们需要检测一批产品的尺寸长度。
当然，逐个检测数以万计的产品的长度有点不切合实际，于是我们可能选择一种更务实的方法：抽检，
即随机检测几个产品的尺寸长度，然后以他们长度的平均值代表这批产品长度的平均值：
\begin{equation}
	\overline L = \sum_i^N L_i / N
\end{equation}
其中上划线代表平均值，$L_i$是第$i$个被抽样的产品的长度，$N$是抽样样本数。
同理，如果我们想知道一个函数$f$在定义域$[a,b]$上的平均值，而我们又不想计算他在\textsl{每一点}上的值，
那么我们可以在$[a,b]$中均匀抽样若干点$x_i$，计算这些点处的函数值，然后以他们的平均值代表函数的整体平均值：
\begin{equation}
	\overline f = \sum_i^N f(x_i) / N \qquad x_i \in [a,b]
\end{equation}
对高数略有所知的我们很快联想到，函数“平均值”的另一种定义是
\begin{equation}
	\overline{f} = \frac{\int^b_a f(x) \dd x}{(b-a)}
\end{equation}
因此，
\begin{equation}
	\int^b_a f(x) \dd x \approx \frac{(b-a) \sum_i^N f(x_i) }{N}  
	\qquad x_i \in [a,b] \quad \text{均匀采样}
\end{equation}
我们惊奇地发现，无需任何繁杂的Newton-Cotes公式、Gauss积分公式乃至微积分基本定理，
纯靠大力出奇迹的随机采样，我们就能估算函数的积分值！
这就是萌卡积分的最基本思路。

\subsection{非均匀采样萌卡积分}
我们上文提到的“均匀采样”这一假设看起来很平凡，但却暗藏玄机。
例如抽查产品时我们可能无意识地抽查那些最好拿到的产品，比如放在箱子最顶上的几个，而不是箱子底部的，
这种不均匀的抽样就可能导致抽样结果的系统性误差：
如果遇到把品质差的产品藏在箱子底部以次充好的无良商家，我们就会系统性高估产品的品质。
同样地，如果我们计算函数时采样点不均匀，我们很可能系统性地高估/低估了函数的大小。
例如，对于$f(x) = x, x \in [0,1]$，如果我们只在$x = 0.2$附近采样，那我们将整体低估函数的平均值与积分值。

换而言之，如果有客观原因限制我们均匀采样，那么上述萌卡积分的估算就不再成立，我们就必须调整相应的加权方法。
上述例子中，如果我们主要在$x=0.2$范围内采样就会导致平均值偏低，因此朴素的直觉告诉我们，
我们此时应该增大那些较为少见的样本，例如来自$x=0.9$处的样本，的权重，毕竟是远方来的稀客。
数学地说，这导致了更为正统的萌卡积分公式：
\begin{equation}
	\int^b_a f(x) \dd x \approx \frac{1}{N} \sum_i^N \frac{f(x_i)}{p(x_i)} 
	\qquad x_i \in [a,b] \quad \text{非均匀采样}
\end{equation}
$p(x_i)$代表采样时，$x$正好采样到$x_i$的概率。



\end{document}
